РАЗБОР ЗАДАНИЙ ОГЭ

Из работы 30.04
1) Из­вест­но, что гра­фи­ки функ­ций y=−x2+l и y=−2x+2 имеют ровно одну общую точку. Опре­де­ли­те ко­ор­ди­на­ты этой точки. По­строй­те гра­фи­ки за­дан­ных функ­ций в одной си­сте­ме коор­ди­нат.
РЕШЕНИЕ:

Чтобы найти общую точку двух графиков, надо найти решение системы, составленное из уравнений этих графиков:

{y=−x2+ly=−2x+2

Для этого приравнивают правые части обоих уравнений и решают получившееся уравнение. Итак, запишем уравнение из правых частей заданных функций:

−x2+l=−2x+2≥⇔x2−l−2x+2=0⇔x2−2x+(2−l)=0

Графики функций, будут иметь ровно одну точку пересечения, если это урав­не­ние имеет ровно одно решение. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

(−2)2−4⋅1⋅(2−l)=0⇔4−8+4l=0⇔4l=8−4⇔l=1

Подставив па­ра­метр l в урав­не­ние, найдём x ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функций:

x2−2x+(2−1)=0⇔x2−2x+1=0⇒x=1

Координата y на­хо­дит­ся от­ту­да же путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты x в любое из уравнений, например, во второе:

y=−2⋅1+2⇒y=0

Координаты точки пересечения будут (1;0).

По­строим гра­фи­ки за­дан­ных функ­ций в одной си­сте­ме коор­ди­нат по точка:

1) Графиком квадратной функции y=−x2+1 — является парабола ( если a отрицательное (a<0), то ветви параболы направлены вниз).

x	0	−1	1	2	−2
y	1	0	0	−3	−3

2) Графиком линейной функции y=−2x+2 — является прямая.

x	0	1	2
y	2	0	−2

2) При каких от­ри­ца­тель­ных зна­че­ни­ях q пря­мая y=qx−4 имеет с па­ра­бо­лой  ровно y=x2+3x одну общую точку? Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты этой точки и по­строй­те дан­ные гра­фи­ки в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.
РЕШЕНИЕ:

Чтобы найти общую точку двух графиков, надо найти решение системы, составленное из уравнений этих графиков:

 

{y=qx−4y=x2+3x.
 
Для этого приравнивают правые части обоих уравнений и решают получившееся уравнение. Итак, запишем уравнение из правых частей заданных функций:
 
qx−4=x2+3x⇔x2+3x−qx+4=0⇔x2+(3−q)⋅x+4=0.
 
Графики функций, будут иметь ровно одну точку пересечения, если это урав­не­ние имеет ровно одно решение. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

 

(3−q)2−4⋅1⋅4=0⇔(3−q)2−16=0⇔(3−q)2=16⇔[3−q=43−q=−4⇔[q=−1q=7.

 

По усло­вию q<0 по­это­му  нам под­хо­дит зна­че­ние q=−1. 

 

Подставив па­ра­метр q в урав­не­ние, найдём x ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функций:

 

x2+(3−(−1))⋅x+4=0⇔x2+4x+4=0⇔(x+2)2=0⇔x=−2.
 
Координата y на­хо­дит­ся от­ту­да же путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты x в любое из уравнений, например, во второе:

 

y=−22+3⋅(−2)=−2
 
Координаты точки пересечения будут (−1;−2).
 
По­строим гра­фи­ки за­дан­ных функ­ций в одной си­сте­ме коор­ди­нат по точка:
 
1) Графиком квадратной функции y=x2+3x — является парабола ( если a положительное (a>0), то ветви параболы направлены вверх).

 

x	−3	−2	−1,5	−1	0
y	0	−2	−2,25	−2	0

 
2) Графиком линейной функции y=−1x−4 — является прямая.

 

x	−4	−2	0
y	0	−2	−4

 

Из работы от 28.04

1) В первом сплаве содержится 5% цинка, во втором сплаве содержится 14% 
цинка.Масса первого сплава на 4 кг меньше массы второго сплава. Третий сплав получили из первого и второго сплавов. Он содержит 10% цинка. Найди массу второго сплава.
РЕШЕНИЕ:

Переведём проценты в десятичные дроби:

5%=5/100=0,05.       14%=14/100 =0,14      10%=10/100=0,1

=

Пусть x кг — масса первого сплава.

Тогда масса второго сплава равна (x+4) кг

Поскольку третий сплав получился из первого и второго сплавов, то его масса равна x+x+4=2x+4.

В первом сплаве содержится (0,05⋅x)0    кг цинка, во втором сплаве содержится  0,14⋅(x+4) кг цинка, а в третьем — 0,1⋅(2⋅x+4) кг цинка.

Зная, что третий сплав состоит из первого и второго сплавов, составим и решим уравнение. 

0,05⋅x+0,14⋅(x+4)=0,1⋅(2⋅x+4)

0,05⋅x+0,14⋅x+0,56=0,2⋅x+0,4

−0,01⋅x=−0,16

x=16.

Найдём массу второго сплава: 16+4=20 кг.

ОТВЕТ : 20 кг

2) Определи абсциссу вершины параболы, проходящей через точки c координатами (0;−4), (6;5), (−6;−3).

РЕШЕНИЕ:

1. Напомним, что уравнение, задающее параболу, выглядит так: y=a⋅x2+b⋅x+c, для нахождения абсциссы вершины параболы будем пользоваться формулой x0=−b2⋅a.

2. Подставим координаты точек в уравнение параболы, получим систему:

⎧⎩⎨⎪⎪c=−4;36⋅a+6⋅b+c=5;36⋅a+(−6)⋅b+c=−3.

3. Сложим второе и третье уравнения системы, получим:

72⋅a+2⋅c=2.

4. Подставим в полученное выражение значение c=−4, получим:

72⋅a+(−8)=2.

72⋅a=10.

a=0,139.

5. Определим значение b, для этого подставим значение

 a=0,139 и c=−4 во второе уравнение системы:

36⋅0,139+6⋅b+(−4)=5.

6⋅b=3,996.

b=0,666.

6. Найдём абсциссу вершины параболы: x0=−b2⋅a=−0,6662⋅0,139=−2,4

ОТВЕТ: - 2,4

3)Построй график функции

y=(x4−41⋅x2+400)(x−5)⋅(x+4) 

и определи значения c, при которых прямая y=c имеет с графиком одну общую точку. Если значений несколько, укажи их в порядке возрастания через точку с запятой без пробелов (например: 1;2;3)

РЕШЕНИЕ:

1. Знаменатель обращается в ноль при х = 5 и х = - 4 , значит 

D( f) = (-∞; - 4 ) ᴗ  (5;∞).

2. Разложим числитель на множители, решив уравнение.

x4−41⋅x2+400=0.

Пусть t=x2, тогда уравнение примет вид:

t2−41⋅t+400=0.

Решаем это уравнение, получаем, что t1=25,  t2=16.

Тогда х=5 или х = - 5  или х = 4 или х = - 4 
4==4.

3. Таким образом, дробь примет вид:

y= (x−5)⋅(x+5)⋅(x−4)⋅(x+4)(x−5)⋅(x+4).

4. При x≠5, x≠−4 функция примет вид:

 y=x2+1⋅x−20.

4. Графиком данной функции является парабола: ветви которой направлены вверх. Найдём нули функции:

x2+1⋅x−20=0.

Находим корни этого уравнения: корнями данного уравнения являются числа −5, 4.

Значит точки пересечения с осью ОX ( -5;0) и (4;0).

Точка пересечения с осью OY (0; -20)

Найдём координаты вершины параболы:

x0=−b2a=−12=−0,5;

y0=y(x0)=(−0,5)2−1⋅(−0,5)−20=−20,25.

Итак,  вершина параболы — точка с координатами (−0,5;−20,25).

5. Определим, какие точки необходимо выколоть из параболы:

y(5)=52+1⋅5+(−20)=10.

y(−4)=(−4)2+1⋅(−4)+(−20)=−8

Таким образом, нужно выколоть точки с координатами (5;10) и (−4;−8).

6. Построим параболу: 

7. Прямая y=c будет иметь с параболой одну общую точку, если c=−20,25, c=−8, c=10. Построим эти прямые.

 ОТВЕТ : -20,25;-8;10.