Основные способы, используемые при решении уравнений, содержащих модуль.

Основные способы, используемые при решении уравнений, содержащих модуль.

       Напомним основные понятия, используемые в данной теме.
Уравнением с одной переменной называют равенство, содержащее переменную.
Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство. 
Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет. 
Уравнением с модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля.

При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа.

      |а|=а, если а ≥ 0;

      |а|=-а, если а < 0. 
Существует несколько способов решения уравнений с модулем. 

Рассмотрим подробнее каждый из них.

                   1 способ. Метод последовательного раскрытия модуля.

Опорная информация:

  Пример 1. Решим уравнение |х-5|=4.

Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть х-5≥0, то уравнение примет вид х-5=4. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно – (х-5)=4 или х-5= -4. Решая полученные уравнения, находим: х₁=9, х₂=1.

Ответ: {1; 9}.

Решим этим же способом уравнение, содержащее «модуль в модуле».

   Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.

Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая.

1). |2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10. Откуда х₁=5,5, х₂= -4,5.

2). |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.

Ответ: {-4,5; 5,5}.

Примеры.

№1.  |x| = 3

                                       

─•───•───•────→ x

  -3       0        3

         x = 3    или    x = -3

Ответ: {-3; 3}.

№2.  |x| = 2,5

         x = 2,5    или    х = -2,5

Ответ: {-2,5; 2,5}.

№3.   |x| = -7

          -7 < 0, значит уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

№4.   |2x-8| = 24

2x-8 = 24    или    2x-8 = -24

2x = 32                  2x = -16

x = 16                    x=-8

Ответ: {-8; 16}.

№5.   |12-5x| = 1

12-5x = 1    или    12-5x = -1

-5x = -11               -5x = -13

x = 2,2                   x = 2,6

Ответ: {2,2; 2,6}.

№6.   |10x-2,5| = 46

10x-2,5 = 46    или    10x-2,5 =  -46

10x = 48,5                  10x = -43,5

x = 4,85                      x = -4,35

Ответ: {-4,35; 4,85}.